Présentation de Triumalea

Par Yom , publié le 29/04/2023

Triumalea est un protocole d’utilisation des dés qui peut être exploité avec divers types de dés (à 4, 6, 8, 10, 12, 20 faces …). Il est proposé comme un outil à disposition des créateurs de jeux, qu’il s’agisse de jeux de rôle, de stratégie ou encore de plateau.

Principe

Le triumvirat est un système de magistrature, connu pour avoir été utilisé notamment par la civilisation romaine antique. Il tire donc son nom du latin (« trium » signifiant « trois » et « virum » signifiant « homme »).

Le principe en est de mandater trois magistrats pour la prise de décisions. En cas de désaccords, ces magistrats sont amenés à voter pour ou contre des propositions. Le fait qu’ils soient trois permet de systématiquement dégager une majorité minimale de deux contre un, donc une majorité absolue propre à éviter les questions de légitimité des décisions (au delà de l’éventuel questionnement de la légitimité des magistrats eux-mêmes).

Le principe de Triumalea est de faire la même chose avec des dés plutôt que des magistrats (« alea » signifiant « dé » en latin).

Il s’agit donc, au moment d’évaluer une proposition amenée par le jeu, de jeter trois dés et de confronter chacun des trois résultats obtenus à une règle de jeu qui indique s’il valide ou non la proposition en question. Typiquement, tout résultat atteignant un certain seuil peut valider la proposition alors que tout résultat en dessous de ce seuil ne la validera pas (ou vice et versa).

On peut également envisager, optionnellement, des règles additionnelles pour les cas d’unanimité :

En synthèse, si l’on note « + » un résultat validant la proposition et « - » un résultat l’invalidant, on peut se retrouver dans 4 situations différentes :

Symbole Résultat Situation
+++ Unanimité positive Validation spéciale, avec des effets supplémentaires allant au-delà de la proposition de départ.
++- Majorité positive Validation simple.
+-- Majorité négative Invalidation simple.
--- Unanimité négative Invalidation spéciale, avec des effets supplémentaires contraires à la proposition.

NB. - Dans l’approche qui est ici proposée, on ne tient pas compte d’un ordre de présentation des résultats validant ou invalidant la proposition, qui pourrait découler d’une différenciation des trois dés jetés (par exemple par des couleurs différentes). Dans la table ci-dessus, la convention adoptée est de systématiquement présenter d’abord les « + » et ensuite les « - ». Mais seul importe le nombre de résultats positifs d’une part et négatifs d’autre part. Il n’y a donc pas lieu de tenir compte, par exemple, d’un résultat +-+ qui serait distinct du résultat ++-, car dans les deux cas on a simplement 2 positifs et 1 négatif.

Mise en œuvre

Le protocole Triumalea peut être mis en œuvre par les règles de différents types de jeux. Les concepteurs de ces jeux devront alors décider des modalités de cette mise en œuvre.

Le type de dés utilisé

Rien, dans le protocole Triumalea, ne dépend directement d’un nombre de faces imposant un type de dés à utiliser impérativement plutôt qu’un autre. Il peut donc être utilisé aussi bien avec des dés à 6 faces classiques (D6) qu’avec des dés à 10 faces (D10) ou à 20 faces (D20) ou autres (D4, D8, D12 …) dont notamment les joueurs de jeux de rôle sont familiers.

Dans l’absolu, les trois dés d’un même jet n’ont même pas à être obligatoirement du même type, pourvu que pour chacun d’eux il y ait une règle permettant d’établir clairement si son résultat valide ou non la proposition évaluée. Mais, par souci de simplicité et d’élégance, les concepteurs de règles de jeux préfèreront généralement s’en tenir à un seul type de dés, au moins pour un même jet de dés si ce n’est pour la totalité des jets de dés requis par un jeu donné.

Du type de dés utilisé dépendront évidemment les probabilités qui découlent des jets, notamment si la méthode d’évaluation des résultats repose sur des valeurs seuils (ce point sera abordé plus bas).

L’énoncé des propositions

Le protocole Triumalea repose sur un principe qui est qu’il existe des propositions qui peuvent être soit validées, soit invalidées. De telles propositions s’apparentent à des questions auxquelles on peut répondre par oui ou par non.

Ce principe aura nécessairement une influence sur la conception des règles de jeu, qui sera de les orienter vers la formulation de propositions ayant ce format.

Le mode de validation des propositions

Le protocole Triumalea nécessite que chacun des trois résulats de dés d’un jet puisse être interprété comme validant ou non la propositions évaluée.

Cela se fera probablement le plus souvent au moyen de valeurs seuils.

Par exemple, tout résultat de dé supérieur ou égal à un seuil déterminé validera la proposition alors que tout résultat strictement inférieur à ce seuil ne la validera pas. Mais, selon les préférences des concepteurs de jeux, cela peut également être l’inverse avec des résultats de dés validant les propositions quand ils sont inférieurs à certains seuils.

Cette utilisation de seuils peut se révéler intéressante en ce qu’elle permet de moduler les probabilités d’obtenir des validations de propositions. Les règles pourront donc jouer sur ces seuils pour rendre les propositions plus ou moins difficiles à valider selon des circonstances correspondant à différentes situations de jeu.

Les seuils choisis devront, évidemment, être en adéquation avec le type de dés utilisé. A ce titre, plus le type de dé utilisé comportera un nombre élevé de faces, plus finement il sera possible de moduler ces probabilités (ce qui peut être désirable ou non, selon les jeux).

Une approche autre que celle des seuils pourrait être d’utiliser les résulats pairs et impairs pour valider ou non les propositions. Ou encore d’autres multiples de nombres.

Mais une telle approche sera souvent plus complexe que celle des seuils, tout en étant plus limitée dans les possibilités de modulation de probabilités qu’elle permet.

Enrichir le protocole … mais gare à la complexité

Les principes exposés jusqu’ici constituent le noyau de Triumalea. Des règles de jeu souhaitant aller plus loin dans la sophistication pourront utiliser divers mécanismes d’enrichissement envisageables avec ce protocole.

Les relances

Un mécanisme possible est l’octroi de relances de dés.

Selon les effets désirés, le concepteur du jeu pourra imposer qu’une relance concerne systématiquement les 3 dés d’un jet (relances complètes) ou, au contraire, autoriser que ne soient relancés que certains de ces dés (relances partielles). Les relances partielles sont plus « puissantes » que les relances complètes, en ce qu’elles permettent d’orienter plus fortement les résultats (par exemple en permettant de conserver les « bons » résultats du jet initial pour ne rejeter que les dés avec de « mauvais » résultats).

D’autre part, les relances peuvent être soit à l’avantage du joueur et favoriser ses chances d’obtenir des résultats validant les propositions qui l’intéressent, soit à son désavantage et minimiser ses chances d’obtenir ces résultats :

  • Des relances avantageuses permettront au joueur concerné de décider de relancer ou non et, si les relances partielles sont autorisées par les règles, de choisir de ne relancer que des dés ne validant pas la proposition en conservant ceux qui la validaient dès le jet initial.

  • Des relances désavantageuses, au contraire, seront imposées par les règles sur les résultats les plus avantageux.

La marge de validation de chacun des dés (gare à la complexité)

La proposition qui est faite par Triumalea est que chaque résultat de dé soit évalué en terme de validation ou non d’une proposition, sans toutefois accorder d’importance à la valeur de la différence entre le résultat du dé et le seuil de validation. Cela revient à dire que l’on se soucie, pour chacun des résultats de dés, de savoir s’il valide « oui ou non » la proposition, mais pas de savoir s’il la valide « un peu » ou « beaucoup » ou encore « énormément ».

Il serait donc possible, pour les concepteurs de jeu qui le désirent, d’aller plus loin dans l’interprétation de l’effet de chacun des dés, en tenant compte de la différence entre le résultat du dé et le seuil de validation. Plus cette différence est positivement grande et plus l’interprétation devrait aller dans le sens de la validation de la proposition. A l’inverse, plus cette différence est négativement grande et plus l’interprétation devrait aller dans le sens contraire de celui de la proposition.

Si de telles interprétations sont envisageables en théorie, on ne saurait trop mettre en garde contre leur mise en application pratique. Il existe plusieurs raisons à cela :

  • Les opérations de calcul mental consistant à effectuer une soustraction pour chacun des résultats de dés sont autrement plus lourdes que les simples comparaisons de seuil requises par la formulation nominale de Triumalea.

    Une simple soustraction de tête peut ne pas paraître grand chose. Mais à raison de trois soustractions par jet de dés, si ces derniers sont fréquents ces opérations peuvent devenir fastidieuses, fatiguantes et sujettes à erreurs.

  • On peut se retrouver avec des situations difficiles à interpréter.

    Par exemple, avec un seul résultat validant largement la proposition pour deux résultats manquant de peu de la valider. Nominalement, on se retrouve avec une majorité négative (+--) et la proposition ne devrait pas être validée. Mais on sera néanmoins tenté d’accorder de l’importance au résultat minoritaire de validation compte tenu de sa marge par rapport au seuil.

Une façon de prendre en compte des résultats de dés individuels en réduisant l’impact négatif sur la complexité des règles peut être de faire des cas particuliers pour les jets de dés minimaux et maximaux possibles pour le type de dés utilisé. Il suffira alors de repérer ces valeurs minimales et maximales plutôt que d’effectuer des soustractions, ce qui évitera de complexifier les calculs mentaux.

Par exemple, il est possible de stipuler, dans un jeu utilisant des D10, que chaque résultat de 1 impose une relance désavantageuse et que chaque résultat de 10 octroie une relance avantageuse.

Généralisation avec d’autres nombres de dés

Le principe que Triumalea utilise avec 3 dés peut être envisagé avec d’autres nombres de dés. Le nombre de dés jetés influence principalement deux phénomènes :

La présence ou non d’une situation de statu quo

Triumalea est inspiré du triumvirat qui était précisément un système de magistrature conçu spécifiquement pour éviter l’immobilisme que pourraient provoquer des égalités lors des votes.

De telles égalités peuvent se présenter si le nombre de dés jetés est paire. On peut en effet alors se retrouver avec autant de résultats de dés validant la proposition que de résultats de dés ne la validant pas.

On peut imaginer des jeux dans lesquels de tels statu quo sont potentiellement désirables. Mais, le plus souvent, les joueurs préfèrent que « les choses avancent » et l’on tâchera de les éviter.

Le nombre de situations possibles à l’issue d’un jet de dés

Plus on jette de dés, plus grand est le nombre de situations différentes possibles, chacune d’elle étant représentée par un nombre de résultats validant la proposition (qui implique également un nombre complémentaire de résultats ne la validant pas).

Avec les 3 dés de Triumalea, on se retrouve avec 4 situations possibles : +++, ++-, +-- et ---.

Si l’on ne jetait qu’un seul dé, on se retrouverait avec 2 situations possibles : + et -. Cette version de l’approche coïncide avec l’utilisation « basique » du dé dans de nombreux jeux qui ne s’inscrivent même pas dans une réflexion autour de Triumalea : on jette simplement 1 dé et soit son résulat est « bon », soit il ne l’est pas.

Si l’on jetait 2 dés, on se retrouverait avec 3 situations possibles : ++, +- et --. Le nombre des dés étant paire, on note la présence d’un statu quo représenté par le résultat +-.

Si l’on jetait 4 dés, on se retrouverait avec 5 résultats possibles : ++++, +++-, ++--, +--- et ----. Là encore, le nombre de dés étant paire, on se retrouve avec une situation de statu quo représentée par le résultat ++--.

Nombre de dés Nombre de situations
1 2
2 3
3 4
4 5

En fait, quand on jette N dés selon cette approche générale, on se retrouve avec N + 1 situations possibles à l’issue du jet.

Pour ce qui concerne Triumalea, qui est donc la version à 3 dés de cette approche générale, on se satisfait des points suivants :

  • L’absence de statu quo, garantie par l’utilisation d’un nombre impair de dés.

  • Le fait que 3 constitue un nombre raisonnable de dés à jeter.

    Certains joueurs aiment jeter de grosses poignées de dés, d’autres non. La plupart tendront à considérer que « trois, c’est acceptable ».

  • Les 4 situations possibles qui en découlent constituent un modèle bien équilibré entre possibilités d’interprétation et complexité.

    Plus le nombre de situations possibles est élevé, plus l’interprétation de chacune d’elle peut s’avérer complexe (notamment dans le fait que l’interprétation que l’on veut donner à une situation corresponde avec la probabilité que l’on a de l’obtenir à l’issue d’un jet de dés).

    Le modèle à 4 situations de Triumalea demeure plutôt simple, tout en apportant des possibilités d’interprétation appréciables avec sa notion de validation ou d’invalidation pouvant optionnellement être « simple » ou « spéciale ». En résumé, on peut dire qu’avec ce modèle il y a déjà de quoi faire sans trop « se prendre la tête ».

Les concepteurs de jeux qui ne se trouveront pas satisfaits de l’équilibre qu’apporte l’approche à 3 dés que constitue Triumalea pourront évidemment choisir d’explorer les approches avec des nombres de dés autres que 3.

Probabilités

Les probabilités associés aux différentes situations possibles à l’issue d’un jet de dés dépendent largement du type de dés utilisés. Chacune des sous-sections qui suivent analysent ces probabilités pour les types de dés les plus usuels et trouvables dans le commerce : D4, D6, D8, D10, D12, D20, D30 et D100.

Ces probabilités seront présentées sous la forme d’un tableau dont la première colonne présente les différents seuils possibles pour le type de dés considéré. On considérera ici qu’un résultat de dé valide la proposition quand il est supérieur ou égal au seuil.

Ces seuils vont de 2 jusqu’au nombre de faces du type de dés. Le 1 est évidemment omis pour le fait que tout résultat de jet de dé est forcément supérieur ou égal à 1, ce qui entraîne une probabilité de validation systématique de 100%.

Pour chacun de ces seuils, les probabilités sont données pour chacune des 4 situations possibles : ---, +--, ++- et +++. Sont également présentées les probabilités totales d’invalidation (--- ou +--) et de validation (++- et +++).

Toutes ces probabilités sont présentés sous formes de pourcentages de chances de survenir, arrondies à 2 décimales.

D4

Seuil --- +-- ++- +++ Total invalidation Total validation
2 01,56% 14,06% 42,18% 42,18% 15,62% 84,37%
3 12,50% 37,50% 37,50% 12,50% 50,00% 50,00%
4 42,18% 42,18% 14,06% 01,56% 84,37% 15,62%

D6

Seuil --- +-- ++- +++ Total invalidation Total validation
2 00,46% 06,94% 34,72% 57,87% 07,40% 92,59%
3 03,70% 22,22% 44,44% 29,62% 25,92% 74,07%
4 12,50% 37,50% 37,50% 12,50% 50,00% 50,00%
5 29,62% 44,44% 22,22% 03,70% 74,07% 25,92%
6 57,87% 34,72% 06,94% 00,46% 92,59% 07,40%

D8

Seuil --- +-- ++- +++ Total invalidation Total validation
2 00,19% 04,10% 28,71% 66,99% 04,29% 95,70%
3 01,56% 14,06% 42,18% 42,18% 15,62% 84,37%
4 05,27% 26,36% 43,94% 24,41% 31,64% 68,35%
5 12,50% 37,50% 37,50% 12,50% 50,00% 50,00%
6 24,41% 43,94% 26,36% 05,27% 68,35% 31,64%
7 42,18% 42,18% 14,06% 01,56% 84,37% 15,62%
8 66,99% 28,71% 04,10% 00,19% 95,70% 04,29%

D10

Seuil --- +-- ++- +++ Total invalidation Total validation
2 00,10% 02,70% 24,30% 72,89% 02,80% 97,20%
3 00,80% 09,60% 38,40% 51,20% 10,40% 89,60%
4 02,70% 18,90% 44,10% 34,30% 21,60% 78,40%
5 06,40% 28,79% 43,20% 21,60% 35,19% 64,80%
6 12,50% 37,50% 37,50% 12,50% 50,00% 50,00%
7 21,60% 43,20% 28,79% 06,40% 64,80% 35,19%
8 34,30% 44,10% 18,90% 02,70% 78,40% 21,60%
9 51,20% 38,40% 09,60% 00,80% 89,60% 10,40%
10 72,89% 24,30% 02,70% 00,10% 97,20% 02,80%

D12

Seuil --- +-- ++- +++ Total invalidation Total validation
2 00,05% 01,90% 21,00% 77,02% 01,96% 98,03%
3 00,46% 06,94% 34,72% 57,87% 07,40% 92,59%
4 01,56% 14,06% 42,18% 42,18% 15,62% 84,37%
5 03,70% 22,22% 44,44% 29,62% 25,92% 74,07%
6 07,23% 30,38% 42,53% 19,84% 37,61% 62,38%
7 12,50% 37,50% 37,50% 12,50% 50,00% 50,00%
8 19,84% 42,53% 30,38% 07,23% 62,38% 37,61%
9 29,62% 44,44% 22,22% 03,70% 74,07% 25,92%
10 42,18% 42,18% 14,06% 01,56% 84,37% 15,62%
11 57,87% 34,72% 06,94% 00,46% 92,59% 07,40%
12 77,02% 21,00% 01,90% 00,05% 98,03% 01,96%

D20

Seuil --- +-- ++- +++ Total invalidation Total validation
2 00,01% 00,71% 13,53% 85,73% 00,72% 99,27%
3 00,10% 02,70% 24,30% 72,89% 02,80% 97,20%
4 00,33% 05,73% 32,51% 61,41% 06,07% 93,92%
5 00,80% 09,60% 38,40% 51,20% 10,40% 89,60%
6 01,56% 14,06% 42,18% 42,18% 15,62% 84,37%
7 02,70% 18,90% 44,10% 34,30% 21,60% 78,40%
8 04,28% 23,88% 44,36% 27,46% 28,17% 71,82%
9 06,40% 28,79% 43,20% 21,60% 35,19% 64,80%
10 09,11% 33,41% 40,83% 16,63% 42,52% 57,47%
11 12,50% 37,50% 37,50% 12,50% 50,00% 50,00%
12 16,63% 40,83% 33,41% 09,11% 57,47% 42,52%
13 21,60% 43,20% 28,79% 06,40% 64,80% 35,19%
14 27,46% 44,36% 23,88% 04,28% 71,82% 28,17%
15 34,30% 44,10% 18,90% 02,70% 78,40% 21,60%
16 42,18% 42,18% 14,06% 01,56% 84,37% 15,62%
17 51,20% 38,40% 09,60% 00,80% 89,60% 10,40%
18 61,41% 32,51% 05,73% 00,33% 93,92% 06,07%
19 72,89% 24,30% 02,70% 00,10% 97,20% 02,80%
20 85,73% 13,53% 00,71% 00,01% 99,27% 00,72%

D30

Seuil --- +-- ++- +++ Total invalidation Total validation
2 00,00% 00,32% 09,34% 90,32% 00,32% 99,67%
3 00,02% 01,24% 17,42% 81,30% 01,27% 98,72%
4 00,10% 02,70% 24,30% 72,89% 02,80% 97,20%
5 00,23% 04,62% 30,04% 65,09% 04,85% 95,14%
6 00,46% 06,94% 34,72% 57,87% 07,40% 92,59%
7 00,80% 09,60% 38,40% 51,20% 10,40% 89,60%
8 01,27% 12,52% 41,14% 45,06% 13,79% 86,20%
9 01,89% 15,64% 43,02% 39,43% 17,54% 82,45%
10 02,70% 18,90% 44,10% 34,30% 21,60% 78,40%
11 03,70% 22,22% 44,44% 29,62% 25,92% 74,07%
12 04,92% 25,54% 44,12% 25,40% 30,47% 69,52%
13 06,40% 28,79% 43,20% 21,60% 35,19% 64,80%
14 08,13% 31,92% 41,74% 18,19% 40,05% 59,94%
15 10,16% 34,84% 39,82% 15,17% 45,00% 54,99%
16 12,50% 37,50% 37,50% 12,50% 50,00% 50,00%
17 15,17% 39,82% 34,84% 10,16% 54,99% 45,00%
18 18,19% 41,74% 31,92% 08,13% 59,94% 40,05%
19 21,60% 43,20% 28,79% 06,40% 64,80% 35,19%
20 25,40% 44,12% 25,54% 04,92% 69,52% 30,47%
21 29,62% 44,44% 22,22% 03,70% 74,07% 25,92%
22 34,30% 44,10% 18,90% 02,70% 78,40% 21,60%
23 39,43% 43,02% 15,64% 01,89% 82,45% 17,54%
24 45,06% 41,14% 12,52% 01,27% 86,20% 13,79%
25 51,20% 38,40% 09,60% 00,80% 89,60% 10,40%
26 57,87% 34,72% 06,94% 00,46% 92,59% 07,40%
27 65,09% 30,04% 04,62% 00,23% 95,14% 04,85%
28 72,89% 24,30% 02,70% 00,10% 97,20% 02,80%
29 81,30% 17,42% 01,24% 00,02% 98,72% 01,27%
30 90,32% 09,34% 00,32% 00,00% 99,67% 00,32%

D100

Il est peu probable que l’on veuille utiliser le protocole Triumalea avec des D100.

Les « vrais » D100 sont rares et malcommodes à utiliser et ceux que l’on simule habituellement au moyen de deux dés à 10 faces impliqueraient de jeter 6 dés.

Seuil --- +-- ++- +++ Total invalidation Total validation
2 00,00% 00,02% 02,94% 97,02% 00,02% 99,97%
3 00,00% 00,11% 05,76% 94,11% 00,11% 99,88%
4 00,00% 00,26% 08,46% 91,26% 00,26% 99,73%
5 00,00% 00,46% 11,05% 88,47% 00,46% 99,53%
6 00,01% 00,71% 13,53% 85,73% 00,72% 99,27%
7 00,02% 01,01% 15,90% 83,05% 01,03% 98,96%
8 00,03% 01,36% 18,16% 80,43% 01,40% 98,59%
9 00,05% 01,76% 20,31% 77,86% 01,81% 98,18%
10 00,07% 02,21% 22,35% 75,35% 02,28% 97,71%
11 00,10% 02,70% 24,30% 72,89% 02,80% 97,20%
12 00,13% 03,23% 26,13% 70,49% 03,36% 96,63%
13 00,17% 03,80% 27,87% 68,14% 03,97% 96,02%
14 00,21% 04,41% 29,51% 65,85% 04,63% 95,36%
15 00,27% 05,05% 31,06% 63,60% 05,33% 94,66%
16 00,33% 05,73% 32,51% 61,41% 06,07% 93,92%
17 00,40% 06,45% 33,86% 59,27% 06,86% 93,13%
18 00,49% 07,19% 35,13% 57,17% 07,68% 92,31%
19 00,58% 07,97% 36,30% 55,13% 08,55% 91,44%
20 00,68% 08,77% 37,39% 53,14% 09,45% 90,54%
21 00,80% 09,60% 38,40% 51,20% 10,40% 89,60%
22 00,92% 10,45% 39,31% 49,30% 11,37% 88,62%
23 01,06% 11,32% 40,15% 47,45% 12,39% 87,60%
24 01,21% 12,21% 40,91% 45,65% 13,43% 86,56%
25 01,38% 13,13% 41,58% 43,89% 14,51% 85,48%
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27 01,75% 15,00% 42,71% 40,52% 16,76% 83,23%
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29 02,19% 16,93% 43,54% 37,32% 19,12% 80,87%
30 02,43% 17,91% 43,85% 35,79% 20,35% 79,64%
31 02,70% 18,90% 44,10% 34,30% 21,60% 78,40%
32 02,97% 19,89% 44,27% 32,85% 22,87% 77,12%
33 03,27% 20,88% 44,39% 31,44% 24,16% 75,83%
34 03,59% 21,88% 44,44% 30,07% 25,48% 74,51%
35 03,93% 22,88% 44,43% 28,74% 26,81% 73,18%
36 04,28% 23,88% 44,36% 27,46% 28,17% 71,82%
37 04,66% 24,88% 44,23% 26,21% 29,54% 70,45%
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40 05,93% 27,83% 43,53% 22,69% 33,76% 66,23%
41 06,40% 28,79% 43,20% 21,60% 35,19% 64,80%
42 06,89% 29,75% 42,81% 20,53% 36,64% 63,35%
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